《雙曲線的簡單幾何性質》說課稿

一、教材分析

1.教材中的地位及作用

    本節(jié)課是學生在已掌握雙曲線的定義及標準方程之后，在此基礎上，反過來利用雙曲線的標準方程研究其幾何性質。它是教學大綱要求學生必須掌握的內容，也是高考的一個考點，是深入研究雙曲線，靈活運用雙曲線的定義、方程、性質解題的基礎，更能使學生理解、體會解析幾何這門學科的研究方法，培養(yǎng)學生的解析幾何觀念，提高學生的數(shù)學素質。

2.教學目標的確定及依據(jù)

    平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性質。教學參考書中明確要求：學生要掌握圓錐曲線的性質，初步掌握根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質的方法和步驟。根據(jù)這些教學原則和要求，以及學生的學習現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的教學目標。

（1）知識目標：①使學生能運用雙曲線的標準方程討論雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線等幾何性質；

               ②掌握雙曲線標準方程中

的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及證明；

               ③能運用雙曲線的幾何性質解決雙曲線的一些基本問題。

（2）能力目標：①在與橢圓的性質的類比中獲得雙曲線的性質，培養(yǎng)學生的觀察能力，想象能力，數(shù)形結合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學習方法；

               ②使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的概念的理解。

（3）德育目標：培養(yǎng)學生對待知識的科學態(tài)度和探索精神，而且能夠運用運動的，變化的觀點分析理解事物。

3.重點、難點的確定及依據(jù)

對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質，而學生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學過程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，通過誘導、分析，巧妙地應用極限思想導出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學思想滲透于其中，學生也易接受。因此，我把漸近線的證明作為本節(jié)課的難點，根據(jù)本節(jié)的教學內容和教學大綱以及高考的要求，結合學生現(xiàn)有的實際水平和認知能力，我把漸近線和離心率這兩個性質作為本節(jié)課的重點。

4.教學方法

    這節(jié)課內容是通過雙曲線方程推導、研究雙曲線的性質，本節(jié)內容類似于“橢圓的簡單的幾何性質”，教學中可以與其類比講解，讓學生自己進行探究，得到類似的結論。在教學中，學生自己能得到的結論應該讓學生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過學習學生自己能解決的問題，應該讓學生自己解決，這樣有利于調動學生學習的積極性，激發(fā)他們的學習積極性，同時也有利于學習建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學生的思維能力和解決問題的能力。

漸近線是雙曲線特有的性質，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學過程中著重培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，通過誘導、分析，從已有知識出發(fā)，層層設（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調動學生自身探索的內驅力，進一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。

例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結論），訓練學生一題多解，開拓其解題思路，使他們在做題中總結規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。

二、教學程序

（一）.設計思路

           （二）.教學流程

1.復習引入

我們已經(jīng)學習過橢圓的標準方程和雙曲線的標準方程，以及橢圓的簡單的幾何性質，請同學們來回顧這些知識點，對學習的舊知識加以復習鞏固，同時為新知識的學習做準備，利用多媒體工具的先進性，結合圖像來演示。

2．觀察、類比

這節(jié)課內容是通過雙曲線方程推導、研究雙曲線的性質，本節(jié)內容類似于“橢圓的簡單的幾何性質”，教學中可以與其類比講解，讓學生自己進行探究，首先觀察雙曲線的形狀，試著按照橢圓的幾何性質，歸納總結出雙曲線的幾何性質。一般學生能用類似于推導橢圓的幾何性質的方法得出雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率，對知識的理解不能浮于表面只會看圖，也要會從方程的角度來解釋，抓住方程的本質。用多媒體演示，加強學生對雙曲線的簡單幾何性質范圍、對稱性、頂點（實軸、虛軸）、離心率（不深入的講解）的鞏固。之后，比較雙曲線的這四個性質和橢圓的性質有何聯(lián)系及區(qū)別，這樣可以加強新舊知識的聯(lián)系，借助于類比方法，引起學生學習的興趣，激發(fā)求知欲。

3.雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)、證明

（1）發(fā)現(xiàn)

由橢圓的幾何性質，我們能較準確地畫出橢圓的圖形。那么，由雙曲線的幾何性質，能否較準確地畫出雙曲線

的圖形為引例，讓學生動筆實踐，通過列表描點，就能把雙曲線的頂點及附近的點較準確地畫出來，但雙曲線向遠處如何伸展就不是很清楚。從而說明想要準確的畫出雙曲線的圖形只有那四個性質是不行的。

從學生曾經(jīng)學習過的反比例函數(shù)入手，而且可以比較精確的畫出反比例函數(shù)

的圖像，它的圖像是雙曲線，當雙曲線伸向遠處時，它與x、y軸無限接近，此時x、y軸是

的漸近線，為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學生猜想雙曲線

有何特征？有沒有漸近線？由于雙曲線的對稱性，我們只須研究它的圖形在第一象限的情況即可。在研究雙曲線的范圍時，由雙曲線的標準方程

，可解出

，

，當x無限增大時，y也隨之增大，不容易發(fā)現(xiàn)它們之間的微妙關系。但是如果將式子變形為

，我們就會發(fā)現(xiàn)：當x無限增大，

逐漸減小、無限接近于0，而

就逐漸增大、無限接近于1(

)；若將

變形為

，即說明此時雙曲線在第一象限，當x無限增大時，其上的點與坐標原點之間連線的斜率比1小，但與斜率為1的直線無限接近，且此點永遠在直線

的下方。其它象限向遠處無限伸展的變化趨勢就可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線

的圖形在遠處與直線

無限接近，此時我們就稱直線

叫做雙曲線

的漸近線。這樣從已有知識出發(fā)，層層設（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調動學生自身探索的內驅力，進一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。

利用由特殊到一般的規(guī)律，就可以引導學生探尋雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線，讓學生同樣利用類比的方法，將其變形為

，

，由于雙曲線的對稱性，我們可以只研究第一象限向遠處的變化趨勢，繼續(xù)變形為

，

，可發(fā)現(xiàn)當x無限增大時，

逐漸減小、無限接近于0，

逐漸增大、無限接近于

，即說明對于雙曲線在第一象限遠處的點與坐標原點之間連線的斜率比

小，與斜率為

的直線無限接近，且此點永遠在直線

下方。其它象限向遠處無限伸展的變化趨勢可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線

(a>0，b>0)的圖形在遠處與直線

無限接近，直線

叫做雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線。我就是這樣將漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，通過誘導、分析，巧妙地應用極限思想導出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學思想滲透于其中，學生也易接受。

（2）證明

如何證明直線

是雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線呢？

啟發(fā)思考①：首先，逐步接近，轉換成什么樣的數(shù)學語言？（x→∞,d→0）

啟發(fā)思考②：顯然有四處逐步接近，是否每一處都進行證明？

啟發(fā)思考③：鎖定第一象限后，具體地怎樣利用x表示d

（工具是什么：點到直線的距離公式）

啟發(fā)思考④：讓學生設點，而d的表達式較復雜，能否將問題進行轉化？

分析：要證明直線

是雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線，即要證明隨著x的增大，直線和曲線越來越靠攏。也即要證曲線上的點到直線的距離

｜MQ｜越來越短，因此把問題轉化為計算｜MQ｜。但因｜MQ｜不好直接求得，因此又可以把問題轉化為求｜MN｜。

 

 

 

啟發(fā)思考⑤：這樣證明后，還須交代什么？

（在其他象限，同理可證，或由對稱性可知有相似情況）

引導學生層層深入的進行探究，從而更深刻的理解雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明過程。

（3）深化

再來研究實軸在y軸上的雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線方程就會變得容易很多，此時可利用類比的方法或者利用對稱性得到焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程即為

。

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精確的畫出雙曲線。但是如果仔細觀察漸近線實質就是雙曲線過實軸端點、虛軸端點，作平行與坐標軸的直線

所成的矩形的兩條對角線，數(shù)形結合，來加強對雙曲線的漸近線的理解。

4.離心率的幾何意義

橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度，雙曲線離心率有何幾何意義呢？不難得到：

，這是剛剛學生在類比橢圓的幾何性質時就可以得到的簡單結論。通過對離心率的研究，同樣也可以使學生進一步加深對漸近線的理解。

由等式

，可得：

，不難發(fā)現(xiàn)：e越�。ㄔ浇咏�于1），

就越接近于0，雙曲線開口越�。�e越大，

就越大，雙曲線開口越大。所以，雙曲線的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對這些性質的探究，就可以更好的理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關系，更加準確的作出雙曲線的圖形。

5. 例題分析

為突出本節(jié)內容，使學生盡快掌握剛才所學的知識。我選配了這樣的例題：

例1.求雙曲線9x²－16y²=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標、漸近線方程、離心率。選題目的在于拿到一個雙曲線的方程之后若不是標準式，要先將所給的雙曲線方程化為標準方程，后根據(jù)標準方程分別求出有關量。本題求漸近線的方程的方法：（1）直接根據(jù)漸近線方程寫出；（2）利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對角線得到。加強對于雙曲線的漸近線的應用和理解。

變1：求雙曲線9y²－16x²=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標、漸近線方程、離心率。選題目的：和上題相同先將所給的雙曲線方程化為標準方程，后根據(jù)標準方程分別求出有關量；但求漸近線時可直接求出，也可以利用對稱性來求解。

關鍵在于對比：雙曲線的形狀不變，但在坐標系中的位置改變，它的那些性質改變，那些性質不變？試歸納雙曲線的幾何性質。（小結列表）

變2：已知雙曲線的漸近線方程是

，且經(jīng)過點(

,3),求雙曲線的標準方程。選題目的

：在已知雙曲線的漸近線的前提下，如何利用已知信息求解雙曲線的方程。方法1：分焦點在x軸，焦點在y軸分別求解；方法2：確定點所在的區(qū)域，定方程的形式，然后求a、b。深化知識，加強應用，使知識系統(tǒng)化。

    例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結論），訓練學生一題多解，開拓其解題思路，使他們在做題中總結規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。

6.課堂練習

    課本P113練習1.2，讓學生自己練習，熟悉并運用雙曲線的幾何性質解題，加強應用性。

7.課堂小結

    （1）通過本節(jié)學習，要求學生熟悉并掌握雙曲線的幾何性質，尤其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質的證明，并能簡單應用雙曲線的幾何性質；

（2）雙曲線的幾何性質總結(學生填表歸納)。

8.課后作業(yè)

課本P113習題1.2.3，鞏固并掌握課上所學的知識。

思考：雙曲線與其漸近線的方程之間有何內在的變化規(guī)律？

    以上就是我對于《雙曲線的簡單幾何性質》的教學設計，希望老師們給與批評與指正！我會不斷努力，力爭開拓創(chuàng)新，不斷進步。